Die fünf platonischen Körper und die Eulersche Polyederformel

© Spektrum der Wissenschaft / Manon Bischoff (Details)

Entferne die Stacheln

Tatsächlich bleibt am Ende immer genau ein Dreieck übrig. Sie können die drei genannten Transformationen für jeden Polyeder ohne Loch durchführen, Sie erhalten immer ein Dreieck. Da alle Transformationen der Graphen die Eulersche Polyederformel unverändert lassen, ist das Ergebnis für jeden anderen Graphen, der ebenfalls von einem Polyeder stammt, dasselbe. Da ein Dreieck aus 3 Ecken, 3 Kanten und 1 Fläche besteht, ist das Ergebnis: 3 − 3 + 1 = 1. Da der Graph immer eine Fläche hat, die kleiner ist als das ursprüngliche Polyeder, gilt für Polyeder: V − E + F = 2, was Euler bereits beobachtet hatte.

Das mag nicht besonders spektakulär klingen, aber die Formel ist äußerst hilfreich. Zum Beispiel kann es verwendet werden, um unsere ursprüngliche Absicht zu beweisen: dass es nur fünf platonische Körper gibt! Diese symmetrischen Strukturen bestehen aus gleich großen Polygonen (n-Ecken), jede Ecke genau m Kanten werden gekreuzt. Um herauszufinden, welche Polyeder diese Eigenschaften erfüllen können, suchen wir nach allen möglichen natürlichen Zahlen n und mwas die Eulersche Polyederformel erfüllt.

Auch Lesen :  Gratis-Games für PS4 und PS5 – Gleich 5 Spiele von Sony

Multiplizieren Sie dazu zunächst die Anzahl der Flächen und Ecken eines Polyeders mit Zahlen n und m ausdrücken. Wenn jeder m Kanten schneiden einen Scheitelpunkt und jede Kante wird durch zwei Scheitelpunkte begrenzt, also: etc = 2E. Gleichzeitig bildet eine Kante immer eine Grenze für zwei Flächen. Denn jede Oberfläche von n Kanten folgt: n F = 2E. Setzt man diese Erkenntnisse in Eulers Polyederformel ein, erhält man: 2EmE + 2En = 2. Dieser Ausdruck lässt sich vereinfachen, indem man die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringt, summiert und den Kehrwert bildet: 2nMonate+2m2Monate = 1E. Etwas mehr Umordnung ergibt dann den Ausdruck: 1m + 1n = 1E + ½. Seit der Vorladung 1E den Wert auf der rechten Seite nur größer macht (er ist immer positiv), können Sie stattdessen die folgende Ungleichung verwenden n und m Grüße: 1m + 1n > ½.

Auch Lesen :  Fast-Fourier-Transformation: Ein Algorithmus für den Weltfrieden

Um also einen platonischen Körper zu erzeugen, fügten sie den Kehrwert von hinzu n und m größer als 1/2 sein. Dort n und m natürliche Zahlen sind und größer als drei sein müssen (sonst kein Polyeder möglich), bleiben nur fünf Möglichkeiten: (3,3), (3,4), (4,3), (3,5) und (5 , 3). Daraus resultieren die bekannten platonischen Polyeder – mehr kann es nicht geben, da z.B 13 + 16 < ½.

Triangulation einer Brezel

Damit haben wir dank Eulers Polyederformel den schlüssigen Beweis dafür gefunden, dass es genau fünf platonische Körper gibt. Aber die Formel hilft nicht nur beim Studium von Polyedern. Hinter der Gleichung steckt eigentlich ein viel allgemeineres Konzept, das sich auf alle möglichen Figuren – und Raumdimensionen anwenden lässt. Beispielsweise kann man eine Fläche mit einem Netz aus Dreiecken aufspannen und dann die Polyederformel berechnen: V − E + F. Das Ergebnis ist immer gleich, egal ob das Mesh aus 6 oder 600 Dreiecken besteht. Für eine Kugel, wie für Polyeder, ist das Ergebnis 2. Aber für andere Oberflächen, wie z. B. einen Bagel, ist das Ergebnis 0. Wie sich herausstellt, V − E + F = χ eine topologische Invariante, d.h. eine Kennzahl, die verschiedene Objekte aus topologischer Sicht voneinander unterscheidet. Wenn also χ für zwei Figuren verschieden ist, sind sie auch topologisch verschieden. Für gewöhnliche zweidimensionale Flächen gilt V − E + F = 2 – 2Lwodurch L ist die Anzahl der Löcher in der Oberfläche. Also für eine Brezel (3 Löcher) χ = −4.

Auch Lesen :  Älteste Schildkröte der Welt feiert 190. Geburtstag | Wissenschaft

Und so ist die von Euler vorgeschlagene Formel zu einem unverzichtbaren mathematischen Werkzeug geworden: Mit ihrer Hilfe kommen Topologen ihrem Ziel, geeignete Größen zur Kategorisierung verschiedener Entitäten zu finden, einen Schritt näher.

Source

Leave a Reply

Your email address will not be published.

In Verbindung stehende Artikel

Back to top button